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凸函数几个定义的讨论及应用
[摘要]：本文给出了凸函数的六种形式的定义，并讨论了这些定义之间的关系及在证明不等式中的应用
[关键词]：凸函数   等价   应用
[引言]：凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，但是许多教科书及参考书给出的凸函数的定义不尽相同，给我们的学习带来了不便。为此我总结了六种凸函数的定义，并队它们之间的关系进行了必要的讨论和研究。
定义1：设函数在上有定义，若曲线上任意两点间的弧段总位于连接两点的弦上，则称是区间上的凸函数。
定义2：设函数在上有意义，且对于任意
有
                   （1）
成立，则称是区间上的凸函数。
定义3：设函数在上有定义对于任意，若
       （2）
成立，则称数为上的凸函数。
定义4：设函数数在上有定义，则称数为内上凸，如果对于任意
及且有
定义5：设函数数在上有定义，若对于一切，且不全为零，，有
 
则称是上的凸函数。
定义6：设函数在上有定义，若对于任意的有
 
则称是上的凸函数。
下面我们来讨论上述六种定义之间的关系。
证明定义1与定义2是等价的。
设是曲线上的任意两点，过这两点的直线方程为
曲线上的任意两点间的弧段总位于连接着两点的弦之上是公式的几何意义，所以定义1与定义2等价
证明定义2与定义3是等价的
过曲线上的点的直线段的参数方程为
 
为内任意一点，将及上式代入（1）式即得（2）式，代入（2）式即得（1）式.因此定义2与定义3等价。
因为定义4是定义3的推广，所以易知定义3与定义4是等价的。
由于定义5是定义4的特例，故定义5是定义4的推广，
以下是用数学归纳法证明定义4可以推出定义5
因为时，即为
显然成立。
假设时成立，
即对任意有

证明成立，即对
有取
则有
利用及 
 
 即是结论成立，故定义4可以推出定义5。

下面证明定义4与定义5等价
在中设，则得
 
故定义4可以推出定义5，
下面再证明定义2与定义6等价。
由于