开启学生思维之窗--在中位线教学时的一点尝试

开启学生思维之窗--在中位线教学时的一点尝试

开启学生思维之窗--在中位线教学时的一点尝试
瑞士心理学家皮亚杰认为，思维结构和数学科学结构十分相似，因此，数学思维过程也可以说是主体以数学知识、理论为基础在头脑中建立起来的信息操作系统。学生数学思维结构形成的速度和完善程度，既有一般规律，也有个性差异，这就是思维品质，而培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。因而从学生长远发展的角度来看,一位成功的教师,要能通过教学实践引导,开启学生思维的“窗户”,让学生自己能找到解决问题的“钥匙”是现在新课改目标所要求的。为此，我在教学实践中“为开启学生的思维之窗”做了一些努力。
一、引导行进，踏上思维的桥梁
孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。引发学生的思考是开启学生思维的第一步。在三角形中位线的教学时，我设计了这样一个问题情境：如何将一个三角形剪拼成一个平行四边形？学生即刻忙起来，又剪又拼，互相看看，交流合作，得到可以从连接两边中点的线段剪开，将剪下的三角形拼到四边形边上，可得一个平行四边形。在同学们的操作实践过程中，自然的引出了中位线的概念，而且通过他们的动手实践激起他们对新知识的兴趣，继而对中位线定理的探讨。
接下来，我趁他们思维活跃之时，剪拼过程中，问相应边长都到哪去了呢？为什么你这样的拼接得到的是平行四边形呢？同学们积极发言，争先恐后，在说理中，我适时的点拨，都一致得到三角形中位线定理，并能自己证出来。我又问：若这个三角形要四等份，该怎么办呢？有不少学生马上比划着“这样，这样”，得到如下这个基本图形。由平行线法得这其中任意一个三角形与原三角形是相似的，相似比是1：2，周长之比是1：2，面积之比是1：4，有四个这样的三角形有这个性质，（师生一起探讨相关问题，引发思考）。在这个基本图形的铺垫下，自然地引领同学们“思维”继续前进，各三角形再分裂下去，又能有什么新成果呢？（同学们就这样一步步的自己开始思维，说到分裂，他们都挺高兴的，分啊分，由少到多…），我问：每个三角形分裂成四个后，所得三角形与原三角形之间，相似比多少？周长之比多少？面积之比呢？（1：4，1：4，1：16），若n次这样分裂下去呢？通过这样一步步的引导，学生对这个问题理解越加深刻，慢慢学会了思维，透过现象看本质：这其实就是个相似问题，逐步踏上了思维的桥梁。

引上同学们走上自己思维的桥梁，如何培养他们良好的思维品质，做到发散与集中的统一呢？
二、约束“思维路径”，发散与集中的统一
梯形的中位线可以看成是三角形中位线的一般化的应用，在生活中我们看到梯形中位线的影子很多：梯子的一根根横梁是许多“梯形”的中位线，只要知道其中的一对上底和下底，就可以解决其它的上底与下底的和，自然而然地将学生的思维发散开去……



而且从中体会到中位线是存在于什么图形中，且在上面这多个梯形的叠加图形中，中位线是一座重要的桥梁，因此有时，在一些问题中，“隐藏”的中位线要把它“挖掘”出来，或自己添加上去，像这样一个简单地而且贴近生活实际的问题，由一个点引到另一个点，由一个面引到另一个面，学生的思维也就像一个点光源发散到四面八方，当然就能很顺利解决以下这个问题了（解题能力也提高了！）：
（06年锦州市中考），如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=a, BC=b,若E1、F1分别是AB、CD的中点，则
E1F1=0.5（AD+BC）=0.5（a+b）;若E2、F2分别是E1B、F1C的中点，则
E2F2=0.5（E1F1+BC）=0.5【0.5(a+b)+b】=0.25(a+3b);当E3，F3分别是E2B、F2C的中点，则
E3F3=0.5（E2F2+BC）=0.5【0.25(a+3b)+b】=0.125(a+7b);若En、、Fn分别是En-1B、Fn-1C的中点，根据上述规律猜想EnFn=        (n.≥1,n为整数)。

  在这个点上还可以发散开来，引起许多的思考，教学的每一个环节都是培养数学思维品质的舞台.它还可以引申到我们课题学习中的中点四边形，例如，在等腰梯形中，若找到上底、下底的中点，和腰上的中点顺次连接，这个中点四边形是什么特殊四边形呢？通过这个发散推理，同学们也易去思考，若外面是一般的四边形、平行四边形、矩形呢等等，它们的中点四边形会是一样的特征吗？和什么有关呢？这样抓住课堂教学的每一个环节，精心设计课堂提问，但是实际教学中，时间有限，而问题是无穷无尽的，到适当的时候，我们也要把网收回，把相关问题集中到一个点：这个问题其实是平行线分线段成比例的一种情形，是三角形中位线定理的一般情形，它的延伸拓展没离开最基本的“梯形中位线定理”或“三角形中位线定理”。
数学教学需要研究培养学生良好思维品质的途径、策略和方法，使学生融会贯通地学习知识，独立的解决问题，敢于质疑，乐于创新。
三、思维不断创新，驶向未来
由这样一个问题：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn，依次记这些四边形的面积为S1、，S2、S3、……Sn,,,
设S= S1、+ S2+……Sn,试探究S1、S2、S3，……Sn间的关系，并思考若S的值大于47.808，则n的值至少为多少？
这个问题放开让学生去想，学生有许多创新，有学生问外面图形矩形改成平行四边形，一般的四边形是否还有这个结论呢？（S=48×【1－(0.5)n】）,这个结论和“正方形等无穷均分面积”是一样的，也有学生问在这个图形中它们的中心既然是共一个中心的，那我们可以以中心为原点，适当的建立坐标系，又可以和函数问题相关了呀？
这样一个几何问题可以借助直角坐标系这个载体比较清晰的发现各四边形面积之间的关系，最后结果的得出还可借助代数中的数列中的一些规律解决，换种思维方法这个问题更形象的得于解决了，并培养了学生思维的创造性和深刻性。放手大胆的让学生想，不断的创新，老师也能有些收获，对学生来说，知识得以巩固，思维得到锤炼，为以后的生活奠定了一个好的基础----积极面对困难，积极寻找解决问题的方法。
总之，在教学中，教师应重视培养学生具有良好的思维品质，提高学生数学素质；教师要充分发挥“导演”的作用，激发学生创造的“火花”；利用已有的知识，结合课堂教学，把“学生”与“知识”这两个主体，通过全新的学习方式，紧密地联系起来；努力从学生长远发展的角度，开启学生的思维之窗，教给他思考问题的方法，学会自己解决问题。