三次函数的再探索
——对称中心问题
王槐松
三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。
一． 三次函数必定存在对称中心吗？
结论：三次函数肯定存在对称中心。
证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。
因为
对比
由（1）有代入
(3)有
即
说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即
对称中心为
【例1】 求的对称中心
解：令为的对称中心
为曲线上任意一点，则也在曲线上，即
整理得
对比
有
解得
所以，的对称中心为
二． 三次函数对称中心的几何位置
问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。
（4）
结论 是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。
证明：的图象关于对称，则
由
图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。
图① 图②
对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。
令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。
综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。
【例2】 求的极值和对称中心
解：
令有
易求极大值处A，极小值处B
而的对称轴，
所以 对称中心
易发现对称中心为A，B的中点
三．过三次函数对称中心的切线条数
结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。
由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。
证明：若是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线相切于，
则切线方程为，因为点M在此切线上，
故，又，
所以，
整理得：，
解得，或。
由此可见，不仅切线与三次曲线的公共点可以多于一个，而且过三次曲线上点的切线也不一定唯一。
【例3】 已知曲线，求曲线在点处的切线方程
解：，，
曲线在点处的切线斜率为
代入直线方程的斜截式，得切线方程为
即
变式：已知曲线，则曲线过点的切线方程___________。
错解：依上题做法，直接填上答案
错因分析：因为求过曲线上某点的切线方程，不一定这点就是切点，这与圆的切线是有不同的。
本题点在曲线上，所以求过点（2，4）的切线，点（2，4）可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为
即
点的坐标代入，得，
，
又
解得 或
所以过（2，4）的切线方程为或
点评：“在点”处的切线方程和“过点”的切线方程是不同的。
四．三次函数对称中心在高考题中的表现
【例4】（2004高考，浙江，理（11）题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
解：根据图象特征，不防设是三次函数，则的图象给出了如下信息：
①
②导函数方程两根是0，2（对称中心的横坐标是1）
③在上；在或上
由①可排除B、D，由③确定选C
纵观上述，三次函数的对称中心问题还是比较容易掌握的，而处或的对称轴就是对称中心的横坐标，且经过对称中心的切线有且有一条。
