巧作铺助圆 妙解综合题
巧作铺助圆 妙解综合题
——严明红
圆有许多性质，与圆有关的问题在综合题中比较常见：而有些综合题，看似与圆无关，若作辅助圆，则可使思路变得清晰，问题变得简单明了。
例1 已知Rt△ABC中 ,AC=5,BC=12，∠ABC=900 ，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）。
（1）如图，当PQ//AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ长的取值范围；若不可能，请说明理由。（2003年广州市中考题）
解：求得AB=13，CP=
（2）解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形。以CQ为直径作半圆D。
当半圆D与AB相切，设切点为M，连结DM，则DM⊥AB，且AC=AM=5。MB=AB-AM=13-5=8设CD=X，则DM=X，DB=12-X。在△DMB中，DB2=MD2+MB2 X=,CQ=
即当CQ=时且点P运动到切点M位置时，△CPQ是直角三角形。 当 <CQ<12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ是直角三角形。 当0<CQ< 时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB上运动时，均在半圆D外，∠ CPQ <900。此时△CPQ不可能是直角三角形。 当<12时，△CPQ可能为直角三角形。
评析 此题首先探讨的是动点，P、Q和C构成直角三角形的可能性，然后探索∠CPQ为直角时，CQ长的取值范围。解题的关键是建立了一个模型——以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，有了此模型，再求CQ的取值范围就不难了。
例2 已知抛物线y=-交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴于点C，且x1< 0 < x2，（AO+OB）2=12CO+1。（1）求抛物线的解析式：（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。（2002年湖北省武汉市中考题）
解：（1）过程略，抛物线的解析式为y=
（2）存在着这样的点P，使 ∠APB为锐角。
A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），连AC、BC，可知AC2+BC2=AB2
△ABC为直角三角形，过A、B、C三点作⊙o1,则AB为⊙o1的直径。
⊙o1与抛物线都关于直线x=对称
C点关于直线x=对称点M是⊙o1与抛物线的另一个交点， M（3，-2）
设P点横坐标为x0，当0< x0< 3时，点P在⊙o1 外。连PA交
⊙o1于点Q，连QB、BP。而∠APB < ∠AQB=900 故∠APB为钝角。同理，当-1< x0 < 0或3 < x0< 4时，有 ∠APB为钝角。设P点的横坐标为x0故x0的范围是0< x0< 3。
评析 此题探讨的是使∠APB为锐角的问题，联想到锐角与90度角的关系，巧妙的构造辅助圆，利用圆外角、圆内角与90度圆周角的大小关系，则使问题迎刃而解。
例3 已知抛物线y=-（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）。（2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的解析式；（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB=900 ？如果不存在，请说明理由；如果存在先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标。（2002年广西壮族自治区）
解：（1）抛物线的顶点坐标为（m,m2+4）
（2）利用可求得抛物线的解析式为y=-x2+4
（3）在抛物线线上存在点P，使∠APB=900。由（2）知，
A（-2，0）、B（2，0）。以AB为直径作圆，设与抛物线相交于P、P′两点，连结AP、BP，则 ∠APB=900。作PQ⊥x轴，垂足为Q，连结OP，则OP=2，且OQ2+PQ2=4。设P点的坐标为（x3,y3）。 点P在抛物线上， y3=-x3 + 4,并且PQ2= y32 ,OQ2= x32 = 4-y3. (4-y3)+y32 = 4,解得y3=0或y3=1 .y3=0不合题意，舍去，取y3=1。 点P的坐标为（ ，1），（-，1）
评析 此题探讨的是使 APB=90 的问题，作辅助圆后，运用圆的有关性质，可简捷、迅速求出点P的坐标。
2010.8
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