一、容“错”——千树万树梨花开
我们的学生，有着不同的知识背景、不同的情感体验、参差不齐的思维水平，难免就会出错.出错，是因为学习是从问题开始，有的错往往是学生对既定思维的反判、修正.正因为出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越，才会发展学生的思维.
对待错误，我们不能避，不能把答案双手奉上；更不能以一个“错”字堵上学生的嘴，接二连三提问学生，直至得出正确答案；这样都是置学生的实际于不顾.不让学生经历实践获得体验，虽然阻止了学生迈向“错”的脚步，但同时也阻断了他们主动学习数学，提升思维的道路.
因此，我们要理性地对待学生的错误.不要轻易否定，要肯定学生的积极参与，用鼓励的语言去评判.只有这样，学生才会毫无顾忌地发表自己的见解，实践自己的设想；师生间就会有认识上的沟通，心灵上的对话，才能提升学生数学思维，才会出现一幅“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”的教育画卷.
二、用“错”——为有源头活水来
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的.”是的，“问渠那得清如许，为有源头活水来”.我们不仅要宽容错误，更要挖掘利用好学生的错误资源，让学生在纠正错误中提升思维，迈入知识的殿堂.
1、找准错误
学生有了错误，要给足学生思考的时间和空间，让他们自己去发现错误，对错误进行系统分析，从而充分暴露学生的真实思维过程、暴露其方法择优过程和解题偏差过程，让他们了解自身不完善和错误的地方，转变思维方式、方法和策略显得尤为重要.学生在解题中常有以下错误：
a、单纯为了追求数学美
数学是美的，令无数英雄竞折腰.相信大家都有这样的切身体会：一道数学难题的解决，一个猜想的证明，是多么让人激动与陶醉. 很多数学结论，美得让人震撼.例如：；黄金分割；三角形的3条高所在直线、3条中线、3条内角平分线分别交于一点等.所以，许多同学根据美学的和谐原则，习惯地认为：，sin（A+B）=sinA+sinB……
b、小学数学的干扰
学生在小学数学学习过程中形成的一些认识会影响他们学习代数初步知识.例如，刚学习正负数时，教材曾把数前带有正号和负号的数分别叫做正数和负数.随着学习的逐步深入，特别是在学习过用字母表示数和有理数的运算以后，再这样形式地理解正负数就非常不够了.这时应当把负数理解为小于零的数.所以学生极易出现是负数，，等错误.对习惯看法的印象越深，新的看法就越难牢固树立.
c、初中数学前后知识的冲突
任何数学问题都是一边建构在旧知识上面，一边挂靠着新知，新知是在用旧知无法解决问题的情况下反思再进的结果，而由旧知到新知往往存在着认知上的矛盾和冲突.
例如:初二时有一位学生课后跑到我办公室，神秘地说，老师，我证明了“2=1”.他的证法如下：设a=b，则a2=ab，
∴a2-b2=ab- b2
即(a+b)(a-b)=b (a-b)
∴a+b=b
由a=b，得2b=b
∴2=1
这位同学热心探索数学、不迷信权威的精神值得肯定.但是在a=b 前提条件下，(a+b)(a-b)=b (a-b)能否两边同时除以a-b从而得到a+b=b？在这个案例中,学生在解答简单问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性小；而遇到综合问题 ，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易出错。
2、纠正错误
纠正错误是数学教学的真正起点，我们要站在学生的角度，“顺应”他们的认知，掌握其错误思想运行的轨迹，摸清了错误源头，然后对“症”下药，找到解决问题的好办法.
a、预防错误
讲课之前，教师若能够预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有针对性地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如，在学习有关幂的知识时，学生对、和，以及和等算式混淆不清，常常出现错误.我就引导学生从这些算式的读法、表达的意义和运算结果等三方面进行类比，让学生从中领悟到这些算式具有“三个不一样”， 这样根源找准了，学生理解了，错误率自然降低了.同时，可设计如下的两个例题加以巩固：
(1)请分别指出，，，的意义；
(2)请辨析下列各式：
① ② ③
④ ⑤
我们备课时，要仔细研究教材中的关键字、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，预先应掌握学生容易出错之处，防患于未然.预见错误并有效防范能够为揭示错误、降低错误打下基础.
b、解后反思
解题后要思考是否有疏漏和错误的地方，总结应该注意的方面：如答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否掉入命题者所设置的陷阱.以此提高分析能力，纠正解答中错误.
例如：已知关于x的方程只有一个实数根，求k的值和这个实数根.
错解：把原方程化为x2+2x+k=0 ①，因为方程只有一个实数根，所以Δ=0，由Δ=22-4k=0，得：k=1，把k=1代入方程①得：x2+2x+1=0，解得：x=-1，经检验：k=1，x=-1为所求.
通过学生对原方程只有一个实数根的理解的反思，发现去分母后的一元二次方程有一个实数根，只考虑了有两个相等实数根的情况而忽略了另一种情况：化简后的一元二次方程有两个不同的实数根时，只要其中一个根是原方程的增根，那么对原方程来说，仍只有一个实数根满足它.因此，正确的解法应进一步补充：当有一增根x=2时，由方程①得：k=-8，此时由x2+2x-8=0可解得另一根x=-4；当有一增根x=0时，由方程①得：k=0，此时由x2+2x=0可解得另一根x=-2.
通过此例的反思训练，使学生在纠正错误的过程中巩固了基础知识，理解基本概念的本质，知道解题时要多层面、多角度地去观察、尝试、探究数学问题，无疑对能力的提高和思维的提升是大有裨益的.
c、总结错误
认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，通过讲评，变式训练，使每一个小问题都对某个数学知识的完善与补充，对某些思考策略的揭示，组成结构性的“问题链”.
例如：已知等腰三角形的腰长是4，底边长为6；求三角形周长.我们可以将此例题进行一题多变.
变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长.(这是考查逆向思维能力).
变式2 ：已知等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求此三角形周长.（与前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论).
变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求三角形周长.(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性) .
变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围.
变式5： 已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，三角形周长是14.请写出两者的函数关系式，并在平面直角坐标系内画出两者图象.(与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问的关键).
通过例题的层层变式，学生对三边关系的认识又深了一步，这有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题的思维方式；通过例题变式的数学教学，有利于培养学生思维的变通性和灵活性.
三、诱“错”——柳暗花明又一村
错误是来源于学生学习活动的数学教学材料，它对学生具有特殊的教育价值，有时比教师的谆谆教诲更有说服力，为了学生的发展，我们应善于恰当设置一些使学生出错的“陷阱”, 让他们在选择、辨析、批判中提升思维.如下面的案例.
老师提出问题：(1)已知三角形内角比为1:2:3,求外角比；学生甲解：外角比为 (2+3):(1+3):(1+2)=5:4:3，经过分组探索、集体讨论后，同学们一致认为甲解法是正确的.然后再做变式练习， (2)已知四边形ABCD中，∠A: ∠ B: ∠C : ∠D=1:2:3:4, 求此四边形的外角比. 有了上面一题的铺垫，很快，就有乙同学解答道：外角之比为 (2+3+4):(1+3+4):（1+2+4）: (1+2+3)=9:8:7:6，乙的解法正确吗？如果不正确，你认为错在哪里？
同学们经过讨论,有人发现结果是4:3:2:1，有趣的是，外角比的顺序恰好与内角比是相反的.教师引导学生观察内角比特点，然后做变式练习，由学生归纳出一般结论：四边形四个内角比为a:b:c:d，且两个数之和等于另两个数之和，例如a+b=c+d，则外角比为：b:a:d:c.然后老师又引导学生来讨论一般四边形，已知内角比，如何简便地求外角比呢？例如：四边形四个内角比为∠A: ∠ B: ∠C : ∠D = 3:5:8:9，求它们的外角比.在学生探索出结果之后，老师又问：能否用字母说明一般情况……
错误是正确的先导，是成功的开始.学生的错误是宝贵的，在讨论过程中，解题错误的阴影不仅能轻轻地从头脑中挥去，而且学生的元认知水平也得到培养.我们要让错误化为学生探索学习数学的动力.在出错、纠错的探究过程中， 逐渐提高学生的观察问题、分析问题和解决问题的能力.让我们的学生乘着“错误”的翅膀，不断提升数学思维.
