在地层压力测试过程中，空间发生三维球形稳定渗流时，渗流速度v是定值，所以三个方向上的加速度的和为零：
------------（3）
即：
-------------（4）
采用空间极坐标形式：
代入整理后得：
--------------------（5）
进行积分，得到：
----------------------（6）
可以知道边界条件为：
根据边界条件进行积分得到稳定渗流的压力分布规律
--------------（7）
则径向渗流方向的压力梯度
-------------------（8）
由公式（2）渗流速度为：
则球形渗流流量公式为：
----------（9）
其中A为半径为r的球面面积，A=，由于远小于，可以忽略不计，因此近似产量公式表示为
------（10）
从图3可以看出，由于地层压力测试是在所钻井眼内完成的，所以流体的流动形式不可能是球形的。地层流体通过探测器吸入，在稳态流动极限内，这种井眼影响用形状因子c表示，那么被吸入探测器的地层流体的流量qf可表示为：
-------------（11）
其中：rp—有效探测半径；
C—形状因子；
qf—从地层流入探测器的体积流量。
图3 半球形流动示意图
全球形时（相当于没有井眼的无限均匀地层）C=1，半球形时（相当于井壁为平面）C=0.5。对于均质地层，探测器与井眼的相比很小时，井眼的影响很小。根据测井经验，当ri/rw<0.05时，有效形状因子C为0.775，，其中ri为探头半径。
将形状因子和有效探测半径代入公式（11），可得：
-------------（12）
式中：qf—地层流入探测器的体积流量；
p*—地层压力；
P(t)—探测器内的压力；
ri—探头半径。
所以 -------------（13）
图4 地层比率分析
结合压降或压力恢复数据，利用方程（13）可以估计地层流动系数k/u和地层压力P*。P(t)与地层流量关系图由方程（13）给出，图4中出现一个负斜率直线段，在p(t)轴截矩为p*，令m1为斜率绝对值。如果已知m1，即可求出流动系数k/u。
p(t)可以由井下仪器实时监测，qf则需要通过间接手段计算。由于地层测试器内部流程管线内流体物质守恒，流程管线内的积累量（qac）与地层流体流入量（qf）和活塞排出量（qdd）差值相等。
-------------（14）
微可压缩流体的压力不稳定理论可用等温压缩系数表示：
-------------（15）
其中：Vsys是流程管线的体积，导数是在压复过程中或由于流体瞬时压缩压力增加时Vsys中的流体体积减少量。液体体积与通过探测器出入探测器的体积相等，考虑到随时间的变化方程（15）可写为：
-------------（16）
其中：称为测量系统的压缩存储，由于等于流入探测器内流体的累积流量qac。因此有：
-------------（17）
所以：
-------------（18）
代入（13）可得：
---（19）
P*—原始地层压力；
μ—粘度；
k—渗透率；
ri—探头半径；
ct—工具内流体压缩系数；
Vsys—工具流程管线容积；
P(t)—探头内的压力。
公式（19）中不能确定的是工具中的流体粘度μ，渗透率k和压缩系数Ct。因为粘度是未知的，模型不能计算渗透率，但是可以从公式中推导出流动系数(渗透率/粘度)，它是表征地层流体在地层中渗流特性的重要参数。dp(t)/dt和qdd由井下仪器测量计算 ，公式中的其他部分为已知。P(t) 与地层流量图为一条斜率下降的直线，在P(t)轴有大小为P*的截距。
令：， ，则公式 变为：P(t)=P*－m2dp/dt－m1qdd。由于实际测试时间较短，压力恢复不一定能恢复到真实的地层压力，但可以利用多元线性回归的方法计算其相关系数P*、m1、m2。可以间接计算出k/u和Ct，但是由于腔内流体混杂，此时的Ct并不能绝对反映流体性质。
2.1.4井下自动计算程序设计
随钻地层压力测试原理及应用技术研究(二)由教育资料网（www.jaoyuw.com）会员上传。
